\title { الحسابيات}
\author{محمد ماهير الفرجي}
\begin{document}
\begin{otherlanguage}{arabic}
طــا: مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية
صا: مجموعة الأعداد الصحيحة
كـا: مجموعة الأعداد الكسرية
حـا: مجموعة الأعداد الحقيقية
1. عدد أولي، القاسم المشترك الأكبر لعددين، المضاعف المشترك الأصغر
ليكن أ، ب عددين من مجموعة الأعداد الصحيحة ص، نقول إن ب يَقسِم أ أو ب قاسم لِـ أ أو أ مُضاعف لِـ ب و نكتب ب\أ إذا وجد ك في ص حيث أ = ك ب
مثال
مجموعة مضاعفات العدد 7
العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1، لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى الواحد فقط. يُدعى كل عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1وغير أولي عددا مؤلفا
مثال
5 هو عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى 5، بينما 6 هو عدد مؤلف لأنه قابل للقسمة على 1، وعلى 2 وعلى 3 وعلى 6
اختبار أولية عدد ما
القسمة المتكررة
تتمثل هاته الطريقة في قسمة العدد المراد تحديد أوليته على جميع الأعداد الصحيحة الأكبر من الواحد والأصغر من جذره التربيعي، واللائي يكن في نفس الوقت أعدادا أولية. إذا لم تنتج إحدى هذه القسمات باقيا، فإن العدد المراد تحديد أوليته ليس بالأولي
على سبيل المثال، بالنسبة للعدد 37، فإنه يكفي النظر إلى الأعداد 2 و 3 و 5. ولا ينبغي النظر إلى العددين 4 و 6 لأنهما عددان غير أوليين
مبرهنة التحليل إلى جداء أعداد أولية
في الرياضيات التحليل إلى العوامل أو تحليل العدد الصحيح هو عملية تفكيكه إلى جداء عوامله الأولية، أي كتابة هذا العدد على شكل جداء أعداد أولية، بحيث يكون حاصل ضربها مساوٍ للعدد الأصلي. مثلا: تحليل العدد 45 هو 5×3×3
مبرهنة
المبرهنة الأساسية في الحسابيات أو ما يعرف بمبرهنة التحليل إلى جداء أعداد أولية هي مبرهنة رياضية تنص على أن كل عدد صحيح طبيعي غير منعدم يمكن كتابته على شكل جداء أعداد أولية، وهذه الكتابة وحيدة
بعض خوارزميات التحليل
هناك طرق عديدة تستعمل لتحليل الأعداد الصحيحة، خصوصا عندما يكون العدد كبيرا
القسمات المتتابعة
تتم بقسمة العدد على التوالي على الأعداد الأولية قسمات تامة والتوقف عند الوصول إلى خارج مساو للعدد 1، أو لعدد أولي
مثال
لتحليل العدد الصحيح 180
لتحليل العدد الصحيح 180
العدد وناتج القسمةعدد أولي مقسوم عليه1802902453153551
أي أن 180 = 5×3×3×2×2
القاسم المشترك الأكبر لعددين
القاسم المشترك الأكبر لعددين، هو أكبر عدد يقسم في نفس الوقت العددين معاً بدون أي باقي قسمة.
فمثلاً القاسم المشرك الأكبر للعددين 48 و 60 هو 12.
طريقة حساب القاسم المشترك الأكبر لعددين
استعمال التعميل إلى جداء أعداد أولية
نكتب العددان على شكل جداء عوامل أولية. ونبحث عن قاسمهما المشترك الأكبر.
فمثلاً القاسم المشترك الأكبر للعددين 45 و 50
تحليل العدد 45 هو 5×3×3 . تحليل العدد 50 هو 5×5×2 . القاسم المشترك الأكبر للعددين 45 و 50 هو 5
استعمال خوارزمية اقليدس
نقسم العدد الأكبر على الأصغر ثم نأخذ باقي القسمة مع العدد الأصغر الناتج ونعيد العملية مع هذين العددين الجديدين حتى نحصل على باقي هو الصفر فيكون العدد الأصغر هو القاسم المشترك الأكبر
باقي قسمة العدد 118 على العدد 24 هو العدد 22
باقي قسمة العدد 24 على العدد 22 هو العدد 2 (أخذنا باقي القسمة بين العددين و أصغرهما و أعدنا العملية)٠
باقي قسمة العدد 22 على العدد 2 هو العدد 0 (أخذنا باقي القسمة بين العددين و أصغرهما و أعدنا العملية)٠
باقي هذه القسمة هو صفر إذن العدد الأصغر أي 2 هو القاسم المشترك الأكبر للعددين 118 و 24
متطابقة بوزو
ليكن ا و ب عددين صحيحين وليكن د قاسمهما المشترك الأكبر، إذن يوجد عددان صحيحان س و ص بحيث س ا +ص ب= د٠
س و ص يسميان معاملا بوزو بالنسبة للعددين ا و ب٠
كيفية حساب معاملا بوزو
مثلا: القاسم المشترك الأكبر للعددين للعددين 118 و 24 هو العدد 2 ٬
إذن يوجد عددان صحيحان س و ص بحيث 118س + 24ص = 2
حساب المعاملين اللذين يظهران في متطابقة بوزو٠
118 = 24 × 4 + 22
أو 22 = 118 − 24 × 4
24 = 22 × 1 + 2
أو 2 = 24 − 22 × 1
22 = 2 × 11 + 0
المضاعف المشترك الأصغر
المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين هو أصغر عدد صحيح موجب مضاعف لكلا هذين العددين، وهذا يعني أنه من
ليكن ا و ب عددين صحيحين وليكن د قاسمهما المشترك الأكبر، إذن يوجد عددان صحيحان س و ص بحيث س ا +ص ب= د٠
س و ص يسميان معاملا بوزو بالنسبة للعددين ا و ب٠
كيفية حساب معاملا بوزو
مثلا: القاسم المشترك الأكبر للعددين للعددين 118 و 24 هو العدد 2 ٬
إذن يوجد عددان صحيحان س و ص بحيث 118س + 24ص = 2
حساب المعاملين اللذين يظهران في متطابقة بوزو٠
118 = 24 × 4 + 22
أو 22 = 118 − 24 × 4
24 = 22 × 1 + 2
أو 2 = 24 − 22 × 1
22 = 2 × 11 + 0
إذن 2 = 24 − 22 × 1
= 24 − (118 − 24 × 4) × 1
= 24 × 4 − 118 = 24 − (118 − 24 × 4) × 1
المضاعف المشترك الأصغر
المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين هو أصغر عدد صحيح موجب مضاعف لكلا هذين العددين، وهذا يعني أنه من
الممكن قسمة المضاعف المشترك الأصغر على العددين بدون باقي قسمة.
الأعداد الأولية فيما بينها
يكون عددان صحيحان أوليين فيما بينهما عندما يكون القاسم المشترك الأكبر بينهما مساويا للعدد 1.
متطابقة بوزو
العددان الصحيحان ا وب أوليان فيما بينهما إذا وفقط إذا وجد عددان صحيحان س و ص بحيث
س ا + ص ب = 1 ٠
مبرهنة غاوس
ليكن ج عدد صحيح، إذا كان العددان الصحيحان ا وب أوليين فيما بينهما وا يقسم الجذاء ب ج، فإن ا يقسم ج٠
مبرهنة فيرما الصغرى، مبرهنة أويلر
مؤشر أويلر (و نرمز له أُ) هي دالة من مجموعة الأعداد الطبيعية نحو نفس المجموعة، حيث صورة ن بالدالة هو عدد الأعداد الأصغر من ن و الأولية مع ن٠
مثلا أُ(6) = 3 لأن الأعداد 1، 2 و 5 أولية مع 6.
حينما يكون ن أوليا أُ(ن) = ن-1.
مبرهنة أويلر:
إذا كان ا و ن عددين طبيعيين أوليين فيما بينهما، فإن:
......
مبرهنة فيرما الصغرى:
حالة خاصة من مبرهنة أويلر حينما يكون ن أوليا
ان-1 = 1[ن] ، (ان = ا[ن])٠
علاقة تكافؤ، مجموعة خارج القسمة
علاقة ثنائية
علاقة ثنائية ع من المجموعة ا إلى المجموعة ب هي جزء م من الجداء الديكارتي ا×ب يسمى منحنى العلاقة٠
إذا كان الزوج (س٬ ص) ينتمي إلى منحنى العلاقة م نقول أن العنصر س له علاقة بالعنصر ص٠
إذا كان ا = ب نقول أن ع علاقة ثنائية معرفة على ا٠
علاقة انعكاسية
تكون العلاقة ~ علاقة انعكاسية على المجموعة أ عندما يرتبط كل عنصر س من أ مع نفسه في العلاقة ~ ٱي من أجل كل عنصر س من أ ، فإن س ~ س.
علاقة تناظرية
تكون العلاقة ~ علاقة تناظرية على المجموعة أ : إذا كان من أجل كل عنصرين س ، ص من المجموعة أ،
س ~ ص فإن ص ~ س .
علاقة تعدي
تكون العلاقة ~ علاقة تعدي على المجموعة أ: إذا كان من أجل كل ثلاثة عناصر س ، ص ، ل من المجموعة أ،
س ~ ص و ص ~ ل فإن س ~ ل .
تكون العلاقة ~ علاقة انعكاسية على المجموعة أ عندما يرتبط كل عنصر س من أ مع نفسه في العلاقة ~ ٱي من أجل كل عنصر س من أ ، فإن س ~ س.
علاقة تناظرية
تكون العلاقة ~ علاقة تناظرية على المجموعة أ : إذا كان من أجل كل عنصرين س ، ص من المجموعة أ،
س ~ ص فإن ص ~ س .
علاقة تعدي
تكون العلاقة ~ علاقة تعدي على المجموعة أ: إذا كان من أجل كل ثلاثة عناصر س ، ص ، ل من المجموعة أ،
س ~ ص و ص ~ ل فإن س ~ ل .
علاقة تكافؤ
تكون علاقة ثنائية ع علاقة تكافؤ على المجموعة أ إذا وفقط إذا كانت علاقة انعكاسية و تناظرية و تعدي معاً٠
مجموعة خارج القسمة
س عنصر من المجموعة أ، ﺼﻨﻑ ﺘﻜﺎﻓﺅ العنصر س ونرمز له بِـ [س] هو المجموعة الجزية من المجموعة أ، مجموعة العناصر المتكافئة مع العنصر س،
[س] = {ص من أ، بحيث ص ~ س}
ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻥ ﺼﻨﻑ ﺍﻟﺘﻜﺎﻓﺅ ﻫﻭ ﻤﻤﺜل ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺼﻨف. ننتج إذن أصناف تكافؤ و نُكوِّن مجموعة جديدة (مجموعة أصناف التكافؤ) تسمى مجموعة خارج القسمة.
ونرمز لمجموعة أصناف تكافؤ المجموعة أ، بِـ أ\ ~.
مجموعة خارج القسمة هي مجموعة المكونة من ﻤﻤﺜلي ﺍﻟأﺼﻨاف٠
الموافقة بترديد بعدد صحيح ن، المجموعة صا\ ن.صا
الموافقة بترديد بعدد صحيح ن
ن عدد طبيعي،
نقول إن عددين صحيحين ا و ب متوافقان بترديد العدد ن يعني أن الطرح ا − ب ينتمي للمجموعة ن ص، أي عدد مُضاعف لِلعدد ن.
و نكب: ا ≡ ب [ن]
و نقرأ ا يوافق ب بترديد ن.
أمثلة
7 ≡ 3[4]
7 ≡ 3 [4]
7 ≡ − 3 [10]
7 ≡ 9 [2]
صا\ ن.صا
ليكن ن عدد طبيعي أكبر قطعا من 1، الموافقة بترديد بعدد صحيح ن علاقة تكافؤ في مجموعة الأعداد الصحيحة ص، ننتج إذن مجموعة أصناف تكافؤ (مجموعة خارج القسمة بترديد العدد ن) التي نرمز لها بِـ صا\ن.صا.
صا\ ن.صا = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، .... ، ن − 1}
مثال
صا\ 2صا = {0 ، 1}
صا\ 7صا = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6}
تمارين
\end{otherlanguage}
\begin{thebibliography}{99}
[1]
......
\end{thebibliography}
\end{document}
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق